中学受験の参考書や塾では昔から割り算には等分除と包含除と、二種類のものがあるという指導をしている。これについては教師向けの教科書の指導書にはもちろん記載されている。しかし、教科書ではことさらに明文化して取り上げていないので子どもたちはそのことを明確に意識せずに小学校を卒業していく(割り算を学ぶ小学３年生・４年生にとって等分除・包含除ということばは難しい。しかし「一人あたりをもとめる割り算」「何人分かをもとめる割り算」という表現を使えば十分理解可能であるし、さらに「一台あたり」「何台分」といった風に広げていくこともできる。そして後に述べるように最終的に「１あたり量」「いくら分」という形で一般化することができるはずである)。しかも「等分除と包含除と、二種類のものがある」ということを頭で理解しただけではまだ十分ではない。現実の事象に即してこの二種類の割り算を理解しそれによって、割り算の結果として得られる量についても二種類の量が存在するのだということを理解して初めて割り算について、そして量について分かったといえるのである。

ことばだけでは直観的な理解がむずかしいので、タイル図を用いて等分除と包含除について説明しよう。

「一人あたり３個のみかんを４人の子どもに配るには、全部で１２個のみかんが必要である」の計算はかけ算を使って (1) 3個/人 × 4人 ＝ 12個 のように表わされる。このかけ算はタイル図では

のように表わされる。そして(1)のかけ算で表されるこの関係は、逆算である割り算を使って(2) 12個 ÷ 4人 ＝ 3個/人 、および(3) 12個 ÷ 3個/人 ＝ 4人 の二通りに表現できる。また、(2)、(3)の割り算をタイル図で示すとつぎのようになる。

(2)は一人あたりのみかんの数を求める割り算(等分除)であり、(3)は何人分のみかんがあるかを求める割り算(包含除)である。

この例を一般化して「一人あたりｍ個ずつｎ人の子どもに配るのに必要なみかんの総数はｓ個である」とすれば、このことを表すかけ算は
 　　　 ｍ個/人 × ｎ人 ＝ ｓ個
となる。さらにこれを一般化すれば
　　　（１あたり量）×（いくら分）＝（全体量）
と表せる。

そうすると、(2) 等分除とは（全体量）を（いくら分）で割って（１あたり量）を求めることであり、狭い意味では「ｓ個のものをｎ等分すると一つ分はいくつになるか」という問題を解くときに使う割り算であることが分かるし、(3) 包含除とは（全体量）を（１あたり量）で割って（いくら分）を求めることであり、狭い意味では「ｓ個のものをｍ個ずつ分けると何等分できるか」という問題を解くときに使う割り算であることが分かる。タイル図を見ると（１あたり量）は縦一列にタイルを並べたもので表わされ、（いくら分）は横一列にタイルを並べたもので表わされ、全体量は縦×横で表わされていることも直観的に理解できる。

(2)等分除、(3)包含除の二種類の割り算の結果として求められる二種類の量のうち(2)等分除の結果として求められる（１あたり量）は教科書では「単位量」と呼ばれているが、水道方式ではこれを内包量(intensive factor)と呼んでいる。内包量は自然科学の分野では示強因子あるいは強度因子(intensive factor)と呼ばれる量であり、その和を単純なたし算で求めることができない*。それゆえ、一人あたりとか単価とか平均とかといった身近な１あたり量は別として、仕事率とか密度とか速度とかいった抽象的な１あたり量は子どもにとっても大人にとってもその大きさを実体として把握することが難しい量なのである。

１あたり量・単位量については小学校５年生で小数のかけ算・割り算、６年生で分数のかけ算・割り算と関連づけて学ぶのであるが、説明が天下り式になりがちなので子どもたちはしっかりと理解できないまま公式だけを覚えて終ってしまう。こうして小学校の小数・分数の計算はアルゴリズムの複雑さと同時に応用問題の構造的複雑さという二つの大きな壁を乗り越えなければならないという宿命を負っている。特に後者の１あたり量(内包量)の構造を理解できない限り応用問題は解けないのである(似たような問題を類型化・公式化した受験参考書のテクニックを丸暗記しただけでは真の実力は身につかない)。にもかかわらず、小中学校の算数・数学・理科の授業では１あたり量・単位量を含めて量というものに関する指導にあまり力を入れているようには見えない。水道方式を見習って小中学校の算数・数学は量と図形という二つの柱について体系的な指導を行なうことがもっとも重要であると私はずっと感じている*。

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さて、倍のかけ算の一般形は、
　　　　　（１にあたる量）×（倍）＝（倍にあたる量）
であるが、少し表現を変えると、
　　　(b) （１にあたる量）×（いくつ分）＝（いくつ分にあたる量）
となる。また、倍は狭い意味では整数倍であるが、整数倍だけでなく小数倍や分数倍にまで倍の概念を拡張したものが割合であるから、割合のかけ算は
　　　(b') （１にあたる量）×（いくら分）＝（いくら分にあたる量）
となる。これを「割り算から見た量(1)――内包量と外延量」で扱った１あたり量のかけ算の一般形
　　　(a) （１あたり量）×（いくら分）＝（全体量）
と比べてみよう。これも少し表現を変えると、
　　　(a') （１あたり量）×（いくら分）＝（いくら分にあたる量）
の形になる。

(b')と(a')とを見比べるとそっくりである。つまり、１あたり量のかけ算と割合のかけ算とは構造が同じである。しかしこの二つは具体的な量の関係を名数・単位を含んだ式で表わすとまったく違うもののように見える。

たとえば、１あたり量のかけ算「１人あたり３個のみかんを４人の子どもに配るには、全部で１２個のみかんが必要である」の式は
　　　(a1)  3個/人 × 4人 ＝ 12個
のように表わされるが、倍のかけ算「３m の４倍は１２m になる(３m を１とすると、４にあたる長さは１２m である)」の式は
　　　(b1)  3m × 4＝ 12m
のようになる。タイル図で示すとどちらもつぎのようになる(構造は同じである)。

名数・単位を含んだ式 (a1),(b1) を見比べてもっとも大きな違いはいくら分の部分である。(b1)の式では名数・単位のない量(無名数)になっている。その理由は割合という量の特殊性にある。割合・比(ratio)ということばからも分かるように、割合(倍)はもともと同種の二つの量の大きさを比較するために用いられる量で、どちらかを基準にして、もう一方がそれの何倍(いくつ分・いくら分)に当たるかを表わす量であるから、割合(倍)は（比較される量）÷（基準にする量）という割り算をして得られる量である(これは、(b1) で用いたことばを使うと（いくつぶんに当たる量)÷（１にあたる量）になる)。

(a1),(b1) のかけ算で表わされる関係を（いくら分）を求める割り算で表わすとそれぞれつぎのようになる。
　　　(a3)  12個 ÷ 3個/人 ＝ 4人
　　　(b3)  12m ÷ 3m＝ 4

つまり、(b3)から分かるように割合(倍)は
　　　　12m ÷ 3m＝ 12m/3m ＝4 m/m ＝ 4
という計算の過程で同種の単位どうしが約分されて結果的に名数・単位のつかない特殊な量になるわけである。しかも重要なのは割合(倍)は二つの量の間で割り算をして得られる量であるから、割合は内包量であるということである。普通の１あたり量における（いくら分）が外延量であったことを考えるとこれは大きな違いである。つまり、１あたり量のかけ算と割合(倍)のかけ算とは共通の構造をもつが外延量・内包量という観点から見るとその構造には違いもあるということである。

また、(a1),(b1) を比べてわかるもう一つの違いは（１あたりの量）と（１にあたる量）の名数・単位部分である。(a1)の（１あたりの量）には「/」が含まれているが(b1)の（１にあたる量）には「/」がない。しかし、これは構造の違いというよりは表記法による違いとみるべきであろう。つまり割合(倍)の（いくら分)が単位のない量であるために、本質的には 3m/1 と表記されるべきところを単に 3m と表記しているだけのことだからである。つまり(b1)は本質的には、
　　　 (b1) 3m/1 × 4 ＝ 12m
のように表記されるべきものなのである。この表記は「３m の４倍は１２m である(３m を１とすると、４にあたる長さは１２m である)」という関係を比で表わしたときの、
　　　　12m：3m ＝ 4：1, または 12m/3m ＝ 4/1 → 12m/4 ＝ 3m/1
ともぴったり符合する。したがって、割合(倍)のかけ算における（１にあたる量）は内包量である。

以上をまとめると、普通の１あたりの量のかけ算が 内包量×外延量＝外延量 という構造をしているのに対して、割合(倍)のかけ算は 内包量×内包量＝外延量 (外見的には 外延量×内包量＝外延量 とも解釈できる) という構造になっているのであり、これが倍(割合)のかけ算の特殊性である。この特殊性が割合(倍)の問題の難しさの主な原因となっている。

割合(倍)という内包量には外見上名数・単位がつかないという特殊性は、量というものを単純にたし算できるものかそうでないものかという観点から外延量と内包量とに分けただけでは不十分であるということを意味する。割合(倍)が外延量や一般の内包量と異なって外見上名数・単位をもたないということを現実の事象に即していうと、外延量や一般の内包量が現実の事物の絶対的な大きさそのものを表わす量であるのに対して割合(倍)は二つの同種の量の間の相対的な大きさの関係を表わす量であるということである。簡単にいえば、外延量や一般の内包量は絶対量であり、割合(倍)は相対量であるということなのである。

というわけで、瀬戸智子さんが「学力テスト結果から、具象と抽象について」で速度や割合のような内包量が単純にたし算できないことを書いておられるのは、速度や割合の内包量としての性質に即しての論であり、「分数」には「量分数」と「割合分数」があると書いておられるのは、絶対量と相対量という観点に即しての論であることがご理解いただけるのではないかと思う。私自身は「量分数」と「割合分数」に関しては、つぎのような理由から子どもたちにはもっと広い視野に立った指導をすべきであると考えている。

教育界では具体的な量(絶対量)を表わす分数を「量分数」、割合・倍(相対量)を表わす分数を「割合分数」として区別するのであるが、絶対量と相対量の両者に用いられる数は分数だけではない。「8m の 3/4(倍) は 6m である」という風に割合(倍)を表わすのに使われる分数は「割合分数」であり相対量である。しかし日常生活では「1リットルは1ミリリットルの 1000倍である」とか「2.4kg の 1.5倍は 3.6kg である」といったように整数や小数も割合(倍)を表わすために用いられる。つまり、そのようなことばは使わないにせよ「量整数」「割合整数」「量小数」「割合小数」という概念も存在するのである。したがって本当に大切なのは「量分数」「割合分数」という区別そのものではなく、量には絶対量と相対量との２種の区別が存在し、割合(倍)は同種の２つの量の比(ratio)を表現した相対的な量であるということである*。そのような広い視点から「量分数」「割合分数」の概念をあらためてとらえ返す必要があると私は思う。「2m の 3倍は 6m」は簡単に分かるのに、「2m の 1/4は 1/2m」ということが理解できない子どもがたくさんいるという現実からすれば、割合についての教え方を考え直す必要があるだろう**。

〔2007.11.02 追記〕

「温度はたし算・引き算できないか(1)(2)」でも書いたように、内包量は単純に足したり引いたりはできない量であるが、基準になるもの・元にするものが同一のものである場合はその増減は引き算で求めることができるし、増減分を足したり引いたりすることもできる。また相対量(割合)の場合についても、基準になるものが同一ならその増減は引き算で求められ、増減分を足したり引いたりするという操作も許される。また二つの相対量どうしの大きさを直接比較するときには相対量でありながら絶対量として扱うことも可能である。

たとえば昔から使われている「八掛け(はちがけ)」という表現はあるものの２割引を意味することばだが、この例では元の大きさを１０割(＝1)としてそこから２割(＝0.2)を引くと８割になることから、元の大きさに 0.8 をかけることによって割引後の大きさが求められることを簡潔に表現したものである。また、濃度は溶液の質量に対する溶質の質量の含有率(相対量)であるから、4% の食塩水と 6% の食塩水を混ぜてできる食塩水の濃度は 10% にはならないし、それぞれの食塩水の質量が分からなければそれぞれに溶けている食塩の質量を比較することもできない。しかし濃度を絶対量として扱い、4 < 6 のように大小比較して 6% の食塩水の方が濃いという判断はできる。

要は、ものごとの判断には区別と連関とを常に正しく認識する必要があるということである。内包量や相対量を外延量や絶対量と同じように扱うことは間違いであるが、時と場合によっては外延量や絶対量と同等に扱わなければならないこともあることを忘れてはならない。ディーツゲンやエンゲルスが指摘しているように真理は相対的なものであって、それを適用する範囲(時と場合)を間違えると真理は誤謬に転じてしまう。誤謬もまた相対的なものであり、それを適用する範囲がごく限られたものである場合には真理となることもある。ことわざの中には相反するようなものが多く見られるのはそのためである。ことわざはその適用範囲を誤るとひどい目に会うのである。

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