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2006年09月13日(水)| 科学・教育>数学 |  
マイナス×マイナスはなぜプラスになるのか(3)――まとめ

正負の量の定義(負の量とは正の量と反対の性質を持つ量である)は、「負の運動とは正の運動と反対方向への運動である」とか「負の働きとは正の働きと反対の働きである」といった形で運動や働き・操作…などにも拡張される(たとえば「前進する⇔後退する」「増える⇔減る」「貸す⇔借りる」「加速する⇔減速する」…など)。

中学一年生の「正負の数」の章では上の拡張された形態の定義についても学ぶ。そしてそのこと自体に疑問を抱く子供はほとんどいない(むしろ当たり前であると受けとめる)。問題は量と運動(操作)とを組み合わせた表現である。これも大多数の子供はつまづくこともなく進むが、ここは丁寧にやる必要がある。「気温が +3度 下がった」=「気温が -3度 上がった」のように量・運動を組み合わせた表現をきちんと理解する必要があるからである。「-5m 前進する」=「+5m 後退する」や「-5リットル 増える」=「+5リットル 減る」「西に +5m 後退する」=「東に -5m 後退する」の意味が論理的に理解できれば、後で正負の数の加減を学ぶときに「プラスの数を引く」=「マイナスの数をたす」・「マイナスの数を引く」=「プラスの数をたす」の意味を、タイルを使った説明と合わせて論理としても直観としても理解できるはずだからである。

このことは正負の数の乗法についてもいえることである。しかし、かけるという操作(演算)はたすという操作(演算)とは構造が異っていることに注意を払わないと訳がわからなくなる。

「マイナスかけるマイナスがどうしてプラスになるのか」という疑問はよく耳にするが、「プラスかけるマイナスはどうしてマイナスになるのか」という疑問はほとんど聞こえてこない。なぜかというと、「マイナス×マイナス⇒プラス」が理解できない人たちは、「プラス×マイナス⇒マイナス」も本当は理解できていないにもかかわらず、そのことに気がついていないからである。

どうしてそうなるのか。正負の数のかけ算を符号にだけ注目して整理すると次のようになる。とてもすっきりとした結果である。

(1)  ×  ⇒ 

(2)  ×  ⇒ 

(3)  ×  ⇒ 

(4)  ×  ⇒ 

(1) と (2) は「かける(+の数)」を「累加する働き」と考えて、小学校のかけ算の延長上で理解できる。しかし、(4) が理解できないのは「かける(-の数)」が「累加する働きの反対の働き」すなわち「累減する働き」であることに気がついていないからである。
――詳細は「マイナス×マイナスはなぜプラスになるのか(1)」および「マイナス×マイナスはなぜプラスになるのか(2)」を参照(タグ【(マイナス×マイナスはなぜプラスになるのか)】でまとめて読めます)。

だから本当は (3) も理解できないはずなのである。にもかかわらず (3) の「プラス×マイナス⇒マイナス」が分かったような気がするのは、交換法則のせいである。小学校のときに、a×b=b×a が成り立つことをすでに学んでいるから、正負の数のかけ算でも交換法則が同じように成り立つと思いこみ、(2) が成り立つなら (3) も無条件で成り立つと判断してしまったのである。ところが正負の数のかけ算で交換法則が成り立つのは、(2), (3) がともに成り立つという条件が満たされた結果から出てくる性質なのである。つまり、この時点ではまだ交換法則が成り立つかどうか分からないのだから、(2) が成り立つからといって (3) が成り立つとはいえないのである。

そんな風に (3) がなんとなく正しいと納得した状態で (4) を見るととても理不尽なものに思える。しかも学校や塾における (3), (4) の説明は分かりにくい。結局、(3) は交換法則で納得してはみたものの、(4) についてはもやもやを残したまま「異符号どうしのかけ算はマイナス、同符号どうしのかけ算はプラス」ということを丸暗記するだけで終ってしまうわけである。ただし、説明抜きで最初から天下りに丸暗記させる先生もいるし、ネット上には「マイナス×マイナス=プラスは公理である」などという主張も見られるから一概に説明が分かりにくいからというわけでもなさそうだ。

というわけで、正負の数のかけ算は次のように整理した上で、「異符号どうしのかけ算はマイナス、同符号どうしのかけ算はプラス」と覚えるべきである。そして、その結果として、正負の数の乗法でも交換法則が成り立つことを理解しなければならない。

(1) (+の数) かける(+の数)=(+の数) を累加する ⇒ (+の数) になる

(2) (-の数) かける(+の数)=(-の数) を累加する ⇒ (-の数) になる

(3) (+の数) かける(-の数)=(+の数) を累減する ⇒ (-の数) になる

(4) (-の数) かける(-の数)=(-の数) を累減する ⇒ (+の数) になる

「マイナス×マイナス⇒プラス」が理解できないという人たちの中には「借金×借金がなぜプラスなのか。借金に借金を重ねたら借金が増えるだけではないか」と主張する人たちがいる*。この人たちは上記のように正の数や負の数をかける意味(演算の構造)が分かっていないのであるが、「借金に借金を重ねたら借金が増える」の部分では無自覚・無意識のまま正しく負の数どうしのたし算をしている

身の回りにある現象・事象のなかでかけ算で表わせるのは「(1あたり)×(いくら分)」か割合の問題つまり「(ある量)×(倍)」(これには歩合や百分率の計算も含まれる)がほとんどである。これらは正の数をかける場合は累加となり、負の数をかける場合は累減になる。ところが面積や体積を求める場合には長さどうしをかけることになるが、この場合には負の数をかけることはない。「貸与金×貸与金」とか「借金×借金」のような現象・事象はないのである。「5万円×8万円=40万円・万円」や「(-5万円)×(-8万円)=40万円・万円」にはどんな現実的な意味もない。

* 「借金と借金をかければ財産になるのか」といったのはスタンダールのようです。
  ⇒「0と1」@Beachside Viewer 〔2007/04/24追記

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トラックバック:反対の反対は賛成なのだ
 シカゴ・ブルースさんのマイナス廛泪ぅ淵垢呂覆璽廛薀垢砲覆襪里?3)というエントリに書いてあったのだが、『赤と黒』や『恋愛論』で知られるスタンダールは、(-)廖福檗法瓠福棔砲箸いΨ彁撒?Г貿柴世?い?困法?瞥菴?愽埒?砲覆辰燭里世修Δ澄? ?..
2007/10/07 Sun 00:18:04 | 遠方からの手紙
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言語関連の用語について

 表現された言語(本来の意味の言語)を単に言葉あるいは言語、ことば…のように表記しています。ソシュール的な意味の言語(言語規範ないし思考言語)はカッコつきで「言語」あるいは「言語langue」・「ラング」・「ことば」等と表記しています。(背景色つきで「言語」のように表記している場合もあります)

 一般的な意味の概念を単に概念と表記し、ソシュール的な意味の概念(語の意義としての概念、いわゆるシニフィエ・語概念)はカッコつきで「概念」と表記します。(2006年9月9日以降)

 また、ある時期からは存在形態の違いに応じて現実形態表象形態概念形態のように用語の背景色を変えて区別しています(この文章では〈知覚形態〉も〈表象形態〉に含めています)。

 ソシュールの規定した用語を再規定し、次のような日本語に置き換えて表記します。詳細は「ソシュール用語の再規定(1)」を参照。

【規範レベルにおける再規定】

・シニフィアン  → 語韻     (ある語音から抽出された音韻)

・シニフィエ   → 語概念(語義) (ある語によって表わされるべき概念)

・シーニュ・記号 → 語規範(語観念)(ある語についての規範認識)

・記号の体系   → 語彙規範   (語すべてについての規範認識)

・言語      → 言語規範   (言語表現に関するすべての規範認識)

語概念・語韻は 語概念⇔語韻語韻⇔語概念)という連合した形で語規範として認識されています。語規範はこのように2つの概念的認識が連合した規範認識です。ソシュールは「言語langue」を「諸記号」相互の規定関係と考えてこれを「記号の体系」あるいは「連合関係」と呼びますが、「記号の体系・連合関係」の実体は語彙規範であり、言語規範を構成している一つの規範認識です。規範認識は概念化された認識つまり〈概念形態〉の認識なのです。

なお、構造言語学・構造主義では「連合関係」は「範列関係(範例関係)」(「パラディグム」)といいかえられその意義も拡張されています。

 語・内語・言語・内言(内言語・思考言語) について、語規範および言語規範に媒介される連合を、三浦つとむの主張する関係意味論の立場からつぎのように規定・定義しています。詳細は『「内語」「内言・思考言語」の再規定』を参照。(2006年10月23日以降)

  : 語規範に媒介された 語音個別概念 という連合を背後にもった表現。

内語 : 語規範に媒介された 語音像⇔個別概念 という連合を背後にもった認識。

言語 : 言語規範に媒介された 言語音(語音の連鎖)⇔個別概念の相互連関 という連合を背後にもった表現。

内言 : 言語規範に媒介された 言語音像(語音像の連鎖)⇔個別概念の相互連関 という連合を背後にもった認識・思考過程。

内語内言は〈表象形態〉の認識です。

なお、上のように規定した 内言(内言語・内的言語・思考言語)、 内語とソシュール派のいうそれらとを区別するために、ソシュール派のそれらは「内言」(「内言語」・「内的言語」・「思考言語」)、「内語」のようにカッコつきで表記します。

また、ソシュールは「内言」つまり表現を前提としない思考過程における内言および内言が行われる領域をも「言語langue」と呼んでいるので、これも必要に応じてカッコつきで「内言」・「内言語」・「内的言語」・「思考言語」のように表記します(これらはすべて内言と規定されます)。さらに、ソシュールは「内語の連鎖」(「分節」された「内言」)を「言連鎖」あるいは「連辞」と呼んでいますが、まぎらわしいので「連辞」に統一します(「連辞」も内言です)。この観点から見た「言語langue」は「連辞関係」と呼ばれます。ソシュールは「内語」あるいは「言語単位」の意味はこの「連辞関係」によって生まれると考え、その意味を「価値」と呼びます。構造言語学では「言(話し言葉)」や「書(書き言葉)」における語の連鎖をも「連辞」と呼び、「連辞関係」を「シンタグム」と呼んでいます。詳細は「ソシュールの「言語」(1)~(4)」「ソシュール用語の再規定(1)~(4)」「ソシュール「言語学」とは何か(1)~(8)」を参照。

 さらに、ソシュールは内言における 語音像⇔個別概念 という形態の連合も「シーニュ・記号」と呼んでいるので、このレベルでの「シニフィアン」・「シニフィエ」についてもきちんと再規定する必要があります。

【内言レベルにおける再規定】

・シニフィアン  → 語音像(個別概念と語規範に媒介されて形成される語音の表象)

・シニフィエ   → 個別概念(知覚や再現表象から形成され、語規範の媒介によって語音像と連合した個別概念)

・シーニュ・記号 → 内語

・言語      → 内言

ソシュールがともに「シーニュ・記号」と呼んでいる2種類の連合 語韻⇔語概念語規範)と 語音像⇔個別概念内語)とは形態が異なっていますのできちんと区別して扱う必要があります。

 また、実際に表現された言語レベルにおいても、語音個別概念 という形態の連合が「シーニュ・記号」と呼ばれることもありますので、このレベルでの「シニフィアン」・「シニフィエ」についてもきちんと再規定する必要があります。

【言語(形象)レベルにおける再規定】

・シニフィアン  → 語音個別概念語規範に媒介されて実際に表現された語の音声。文字言語では文字の形象

・シニフィエ   → 表現された語の意味。個別概念を介して間接的にと結びついている(この個別概念語規範の媒介によってと連合している)

・シーニュ・記号 → (表現されたもの)

・言語      → 言語(表現されたもの)

 語音言語音語音像言語音像語韻についての詳細は「言語音・言語音像・音韻についての覚書」を、内言内語については「ソシュール用語の再規定(4)――思考・内言」を参照して下さい。また、書き言葉や点字・手話についても言語規範が存在し、それらについても各レベルにおける考察が必要ですが、ここでは触れることができません。

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プロフィール

シカゴ・ブルース

シカゴ・ブルース (ID:okrchicagob)

1948年生れ(68歳♂)。国語と理科が好き。ことばについては子供のころからずっと関心を抱いていました。20代半ばに三浦つとむの書に出会って以来言語過程説の立場からことばについて考え続けています。現在は39年間続けた自営(学習塾)の仕事を辞め個人的に依頼されたことだけをこなす日々です。

コメント等では略称の シカゴ を使うこともあります。

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意識と言語(こころとことば)

われわれは人間が『意識』をももっていることをみいだす。しかし『精神』は物質に『つかれて』いるという呪いをもともとおわされており、このばあいに物質は言語の形であらわれる。言語は意識とおなじようにふるい――言語は実践的な意識、他の人間にとっても存在し、したがってまた私自身にとってもはじめて存在する現実的な意識である。そして言語は意識とおなじように他の人間との交通の欲望、その必要からはじめて発生する。したがって意識ははじめからすでにひとつの社会的な産物であり、そして一般に人間が存在するかぎりそうであるほかはない。(マルクス・エンゲルス『ドイツ・イデオロギー』古在由重訳・岩波文庫)


ことばは、人間が心で思っていることをほかの人間に伝えるために使われています。ですから人間の心のありかたについて理解するならばことばのこともわかってきますし、またことばのありかたを理解するときにその場合の人間の心のこまかい動きもわかってきます。
このように、人間の心についての研究とことばについての研究とは密接な関係を持っていて、二つの研究はたがいに助け合いながらすすんでいくことになります。一方なしに他方だけが発展できるわけではありません。
…こうして考えていくと、これまでは神秘的にさえ思われたことばのありかたもまったく合理的だということがおわかりになるでしょう。(三浦つとむ『こころとことば』季節社他)


参考 『認識と言語の理論 I』を読む 1(1)――認識論と言語学三浦つとむ『認識と言語の理論 I』

子どもたちに向けた言葉

ふしぎだと思うこと
  これが科学の芽です
よく観察してたしかめ
そして考えること
  これが科学の茎です
そうして最後になぞがとける
  これが科学の花です
        朝永振一郎

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