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2006年09月12日(火)| 科学>数学 |  
マイナス×マイナスはなぜプラスになるのか(2)――正負の数のかけ算

さて正負の数の乗法であるが、かけ算をどう定義するかである。もっとも一般性のありそうなのは(速さ)×(時間)のような(1あたり)×(いくら分)――示強因子(内包量)×示量因子(外延量)――であろう。等速直線運動における速さや時間・距離は実数値で表わされるから、水道方式のように(1あたり)×(いくら分)を乗法の定義として用いるのがもっとも妥当だと思われる。

小学校の3年生で扱うのは整数×整数である。それは「三輪車一台あたりの車輪の数は3個です。三輪車4台では車輪は何個になりますか」のような形の問題であり、水道方式では三輪車4台の絵を示した上で、その車輪の数を次のようなタイル図 (a) で表わし、累加(同じものを繰り返して加えること)の結果として答が得られることを示す。そして、これから下の図 (b) のように(1あたり)×(いくら分)という形式、つまり 3×4=12 という形式の演算としてかけ算を導入する。

(a)
SSS
SSS
SSS
(b)
S×S
SS

小学校の高学年では、かけられる数(被乗数)・かける数(乗数)が小数や分数で与えられるかけ算を学ぶ。ここでタイルが威力を発揮するわけである。

(正の数)×(正の数)、(負の数)×(正の数)×(正の数)は累加であるから、×(正の数)のタイル図は小学校のかけ算の延長である。(1) (+3)×(+4)=+12, (2) (-3)×(+4)=-12 となることを下に示す。

(1)
SS(2)

0 を前提としたタイル表示かけ算に限らず計算を始める前は 0 である。当たり前過ぎてふつうは誰も気にも止めないが、どんな計算式でも式の最初には「0+」の部分が前提されている。たとえば、(+3)×(+4) は 0+(+3)×(+4) である。そこで、上の(1) (+3)×(+4), (2) (-3)×(+4) を「0 を前提としたタイル表示」で表わすと次のようになる。

(1)
SS(2)

上の図の (1)は 0 に +3 を4回累加した結果 +12 になったことを表わしており、(2) は 0 に -3 を4回累加した結果 -12 になったことを表わしている。

図の (1),(2) で左側にある 0 の部分の横の長さが 5 になっているが特に意味はない。横の長さはどんな大きさでも構わない。要は 0 の部分では正のタイルの総数と負のタイルの総数とが同じになっていなければならないということである。また縦のサイズはかけられる数の +3, -3 に合せている。これも正・負それぞれが同じ数で 3個以上であればどんな大きさでも説明の用に足りる。

負の数をかけることの意味正の数をかけることは累加という操作を表わしている(ただし、累加する数は正の実数値に拡張されている)。そうすると負の数をかけることは累加と反対の操作である累減(同じ数の引き算を繰り返すこと)として表わされる(累減する数も実数値)。したがって、×(負の数)は 0 からある数(かけられる数)を累減したものと考えればよい。そこでここでは下図 (c) のものを 0 として用いることにしよう。

(c)
← これは 0 である。

(正の数)×(負の数)、(負の数)×(負の数)上図の 0 を使って (3) (+3)×(-4), (4) (-3)×(-4) をタイルで表わすと次のようになる。

(3)
SS(4)

上の図の (3) は 0 から +3 を4回累減した結果 -12 になったことを表わしており、これは上の (2) と同じ結果を示している。また (4) は 0 から -3 を4回累減した結果 +12 になったことを表わしており、これは上の (1) と同じ結果を示している。

こうして、(1) (+3)×(+4) と (4) (-3)×(-4) とが同じ結果 +12 になり、(2) (-3)×(+4) と (3) (+3)×(-4) とが同じ結果 -12 になることが示されたわけである。

図の (3), (4) で用いた 0 の部分では、横の長さが 10 になっているが、累減する数 4 より大きければ 横の長さはどんな大きさでも構わない。縦のサイズはかけられる数の +3, -3 に合せて 6 にしているが 8 や 10 などでも構わない。0 を表わすときには、□と■の数が同じになるようにすることと、□を上側・■を下側という風にまとめておくことがポイントである。

以上が、ふだん中学一年生に対して私が行っている正負の数のかけ算についての説明である。「マイナスの数かけるマイナスの数がなぜプラスの数になるのか」を直観的かつ論理的にご理解頂けたであろうか。

これらの結果から正負の数の乗法においても交換法則が成り立つことが示され、また被乗数および乗数が小数や分数であってもタイルを使って同じように表わせることも分かる(式・図は省略)。以上の説明では触れなかったが、0 は何回累加・累減しても 0 であり、どんな数も 0回の累加・累減では 0 になる。したがって、a がどんな実数であっても 0×a=a×0=0 である。

上のタイル図を頭の中に入れておくと、等速直線運動をモデルとして(速さ)×(時間)=(距離)の関係から正負の数のかけ算の性質を説明する方法なども、すっきりと理解できるかもしれない。

数直線上を走るおもちゃの車を考える。(速さ)は右方向(→)に向かう場合を正とし左方向(←)に向かう場合を負とする、距離は現在の位置(原点)を基準として右方向(→)を正とし、左方向(←)を負とする位置(変位)として測る。また、時間は現在を基準(0秒)として、未来をプラスとし、過去をマイナスとする。

たとえば毎秒 3cm で左方向(←)に進むおもちゃが 4秒前にいた位置は (-3)×(-4)=+12 として求められる。これは原点から 3cm ずつ 4回 バックして(→の方向に)戻った位置が +12cm であることを示している。

-1-2-3-4

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言語関連の用語について

 表現された言語(本来の意味の言語)を単に言葉あるいは言語、ことば…のように表記しています。ソシュール的な意味の言語(言語規範ないし思考言語)はカッコつきで「言語」あるいは「言語langue」・「ラング」・「ことば」等と表記しています。(背景色つきで「言語」のように表記している場合もあります)

 一般的な意味の概念を単に概念と表記し、ソシュール的な意味の概念(語の意義としての概念、いわゆるシニフィエ・語概念)はカッコつきで「概念」と表記します。(2006年9月9日以降)

 また、ある時期からは存在形態の違いに応じて現実形態表象形態概念形態のように用語の背景色を変えて区別しています(この文章では〈知覚形態〉も〈表象形態〉に含めています)。

 ソシュールの規定した用語を再規定し、次のような日本語に置き換えて表記します。詳細は「ソシュール用語の再規定(1)」を参照。

【規範レベルにおける再規定】

・シニフィアン  → 語韻     (ある語音から抽出された音韻)

・シニフィエ   → 語概念(語義) (ある語によって表わされるべき概念)

・シーニュ・記号 → 語規範(語観念)(ある語についての規範認識)

・記号の体系   → 語彙規範   (語すべてについての規範認識)

・言語      → 言語規範   (言語表現に関するすべての規範認識)

語概念・語韻は 語概念⇔語韻語韻⇔語概念)という連合した形で語規範として認識されています。語規範はこのように2つの概念的認識が連合した規範認識です。ソシュールは「言語langue」を「諸記号」相互の規定関係と考えてこれを「記号の体系」あるいは「連合関係」と呼びますが、「記号の体系・連合関係」の実体は語彙規範であり、言語規範を構成している一つの規範認識です。規範認識は概念化された認識つまり〈概念形態〉の認識なのです。

なお、構造言語学・構造主義では「連合関係」は「範列関係(範例関係)」(「パラディグム」)といいかえられその意義も拡張されています。

 語・内語・言語・内言(内言語・思考言語) について、語規範および言語規範に媒介される連合を、三浦つとむの主張する関係意味論の立場からつぎのように規定・定義しています。詳細は『「内語」「内言・思考言語」の再規定』を参照。(2006年10月23日以降)

  : 語規範に媒介された 語音個別概念 という連合を背後にもった表現。

内語 : 語規範に媒介された 語音像⇔個別概念 という連合を背後にもった認識。

言語 : 言語規範に媒介された 言語音(語音の連鎖)⇔個別概念の相互連関 という連合を背後にもった表現。

内言 : 言語規範に媒介された 言語音像(語音像の連鎖)⇔個別概念の相互連関 という連合を背後にもった認識・思考過程。

内語内言は〈表象形態〉の認識です。

なお、上のように規定した 内言(内言語・内的言語・思考言語)、 内語とソシュール派のいうそれらとを区別するために、ソシュール派のそれらは「内言」(「内言語」・「内的言語」・「思考言語」)、「内語」のようにカッコつきで表記します。

また、ソシュールは「内言」つまり表現を前提としない思考過程における内言および内言が行われる領域をも「言語langue」と呼んでいるので、これも必要に応じてカッコつきで「内言」・「内言語」・「内的言語」・「思考言語」のように表記します(これらはすべて内言と規定されます)。さらに、ソシュールは「内語の連鎖」(「分節」された「内言」)を「言連鎖」あるいは「連辞」と呼んでいますが、まぎらわしいので「連辞」に統一します(「連辞」も内言です)。この観点から見た「言語langue」は「連辞関係」と呼ばれます。ソシュールは「内語」あるいは「言語単位」の意味はこの「連辞関係」によって生まれると考え、その意味を「価値」と呼びます。構造言語学では「言(話し言葉)」や「書(書き言葉)」における語の連鎖をも「連辞」と呼び、「連辞関係」を「シンタグム」と呼んでいます。詳細は「ソシュールの「言語」(1)~(4)」「ソシュール用語の再規定(1)~(4)」「ソシュール「言語学」とは何か(1)~(8)」を参照。

 さらに、ソシュールは内言における 語音像⇔個別概念 という形態の連合も「シーニュ・記号」と呼んでいるので、このレベルでの「シニフィアン」・「シニフィエ」についてもきちんと再規定する必要があります。

【内言レベルにおける再規定】

・シニフィアン  → 語音像(個別概念と語規範に媒介されて形成される語音の表象)

・シニフィエ   → 個別概念(知覚や再現表象から形成され、語規範の媒介によって語音像と連合した個別概念)

・シーニュ・記号 → 内語

・言語      → 内言

ソシュールがともに「シーニュ・記号」と呼んでいる2種類の連合 語韻⇔語概念語規範)と 語音像⇔個別概念内語)とは形態が異なっていますのできちんと区別して扱う必要があります。

 また、実際に表現された言語レベルにおいても、語音個別概念 という形態の連合が「シーニュ・記号」と呼ばれることもありますので、このレベルでの「シニフィアン」・「シニフィエ」についてもきちんと再規定する必要があります。

【言語(形象)レベルにおける再規定】

・シニフィアン  → 語音個別概念語規範に媒介されて実際に表現された語の音声。文字言語では文字の形象

・シニフィエ   → 表現された語の意味。個別概念を介して間接的にと結びついている(この個別概念語規範の媒介によってと連合している)

・シーニュ・記号 → (表現されたもの)

・言語      → 言語(表現されたもの)

 語音言語音語音像言語音像語韻についての詳細は「言語音・言語音像・音韻についての覚書」を、内言内語については「ソシュール用語の再規定(4)――思考・内言」を参照して下さい。また、書き言葉や点字・手話についても言語規範が存在し、それらについても各レベルにおける考察が必要ですが、ここでは触れることができません。

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プロフィール

シカゴ・ブルース

シカゴ・ブルース (ID:okrchicagob)

1948年10月生れ(74歳♂)。国語と理科が好き。ことばの持つ意味と自然界で起きるできごとの不思議さについて子供のころからずっと関心を抱いていました。20代半ばに三浦つとむの書に出会って以来言語過程説の立場からことばについて考え続けています。長い間続けた自営(学習塾)の仕事を辞めた後は興味のあることに関して何でも好き勝手にあれこれ考える日々を過ごしています。千葉県西部在住。

2021年の2月下旬から海外通販(日系法人)を通じてイベルメクチンのジェネリック(イベルメクトール:インド Sun Pharma 社製)を購入し、定期的に服用しています。コロナワクチンは接種していません。

ツイッターは okrchicagob(メインアカウント)、または Chicagob Okr(サブアカウント)。

コメント等では略称の シカゴ を使うこともあります。

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われわれは人間が『意識』をももっていることをみいだす。しかし『精神』は物質に『つかれて』いるという呪いをもともとおわされており、このばあいに物質は言語の形であらわれる。言語は意識とおなじようにふるい――言語は実践的な意識、他の人間にとっても存在し、したがってまた私自身にとってもはじめて存在する現実的な意識である。そして言語は意識とおなじように他の人間との交通の欲望、その必要からはじめて発生する。したがって意識ははじめからすでにひとつの社会的な産物であり、そして一般に人間が存在するかぎりそうであるほかはない。(マルクス・エンゲルス『ドイツ・イデオロギー』古在由重訳・岩波文庫)


ことばは、人間が心で思っていることをほかの人間に伝えるために使われています。ですから人間の心のありかたについて理解するならばことばのこともわかってきますし、またことばのありかたを理解するときにその場合の人間の心のこまかい動きもわかってきます。
このように、人間の心についての研究とことばについての研究とは密接な関係を持っていて、二つの研究はたがいに助け合いながらすすんでいくことになります。一方なしに他方だけが発展できるわけではありません。
…こうして考えていくと、これまでは神秘的にさえ思われたことばのありかたもまったく合理的だということがおわかりになるでしょう。(三浦つとむ『こころとことば』季節社他)


参考 『認識と言語の理論 第一部』 1章(1) 認識論と言語学との関係

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